本書以易讀易懂為首要考慮. 因此, 在編排次序上有兩項特點:
全書概述如下:
第一章的向量幾何是正式題材的預備. 若時間急迫, 可以直接從第二章開始研讀, 等最後再回來補第一章. 第二, 三, 四章討論矩陣, 列運算, 及行列式. 這些題材是線性代數的工具知識, 在整個線性代數中到處用得著.
第五, 六章討論向量空間. 先舉由淺而深的各種實例介紹向量空間與子空間. 然後藉著基底(獨立生成集), 澄清向量空間的結構並引入坐標.
第七, 八章討論向量空間之間的線性映射. 先介紹線性映射的各種實例, 並討論它的矩陣表示, 然後再進一步探討線性映射的理論. 第八章討論秩的理論. 這章內容豐富, 總結了前半本書的所有的題材.
第九, 十章討論空間上的第三種運算--內積. 先討論內積的主要應用(正投影及正交化) . 然後對內積的各個條件作深入的探討.
第十一章討論各種空間分解, 這是探討對角化問題(尤其是Jordan form)的工具. 第十二, 十三章討論對角化. 對角化理論與線性映射理論並列為線性代數的兩大主題.
第十四, 十五章討論 Jordan form.先集中力量將核心問題(冪零)在十四章處理清楚, 這使得十五章的Jordan form雙層結構變成清晰易懂.
第十六章討論特徵值的綜合問題以及最小多項式. 本書涵蓋了傳統線性代數與應用線性代數的題材. 就整體而言, 傳統線性代數強調線性映射與Jordan form; 而應用線性代數較強調內積, 單式對角化, 與範數. 近幾年來,大學教育界有愈來愈重視應用線性代數的趨勢.
線性代數極強調論證. 不論是證明或計算, 讀者務必對各個步驟追究推導所依據的定義或定理. 為協助研讀, 本書在行末大量標註推導依據, 讀者可多加利用, 以確實弄懂各步驟的道理.
"行末標註"不但出現在本書, 還出現在筆者所編寫的線性代數解題書上. 為使交叉查考具備一致性, 本書在多次的修訂中都儘量不更動原有定義定理的序號, 遇到需增添新題材時, 就在數字後附加英文字母(例如第十三章定理17c).
做事要講究重點, 讀書更是如此. 每一章的內容都有重點與旁支的區別. 人的注意力有限, 應該要集中在主題上. 不要一開始就用地毯式的讀法, 因為注意力分散到每一個角落就會變成都不注意. 整個線性代數份量很重, 應分為兩波進行研讀. 第一波研讀時可跳過一些枝節, 並特別注意各個重點, 等全書讀完一遍後再進行第二波研讀. 第二波時一方面復習重點以求融會貫通, 另一方面也已有足夠的實力可以學好一些枝節性的題材.
本書特別加上重點分級標示, 以利研習時的取捨. 雪花符號﹡代表僅供參考, 可忽略不看的題材. 標示短劍符號†的地方較難或較不重要, 應延到第二波再讀. 其它的部份就是在第一波應讀的部份. 其中雙圈符號◎代表特別重要而應熟記的題材. 當然, 在第一波與第二波之內讀者還可依各人需要在各章內分成幾個小波. 原則上每一章寧可用較快的速度多讀幾遍, 不要只用慢速度細讀一遍.
線性代數是沒有範圍的, 若想要讀遍所有題材, 耗上三年的光陰都還不能完成目標. 要練到70%~80%的火候還算容易, 想掌握90%以上就困難了. 讀者應顧及投資報酬率, 對艱深冷僻的題材適度放棄, 以免得不償失.
對投考研究所的同學, 考古題的研讀非常重要. 筆者搜羅六百餘題歷屆試題, 歸納為六十八種題型, 編成"線性代數--題型剖析"一書. 該書與本書參照研習, 可收事半功倍的效果. 對較早期的考題, 讀者可參閱"線性代數 77-68 十年考題突破". 除了研讀線性代數的題材以外, 我們通常還必須熟習它的英文敘述, 以免看不懂題目的意思.
常用而份量足夠的英文教科書有
第四本是線性代數的元老教科書, 現今的大學教授當年多半讀過. 這本書的寫法較抽象, 對初學者並不適宜. 第三本內容頗有創意, 但寫法比較浪漫, 符號與定義又常與眾不同, 並不適合自修. 讀者讀過本書後, 可在第一, 二本中擇一參閱. 不過其中的正文與習題份量沉重, 一般學生不可能全部讀完, 仍須選擇性的閱讀. 若是時間急迫, 無暇閱讀英文書, 熟讀歷屆英文試題也有熟悉英文敘述的效果.